维数 $\geq 3$ 椭球的自焦点

黎曼流形 $(M,g)$ 的自焦点是一个点 $p$，使得从 $p$ 出发的每条测地线都在某正时刻回到 $p$。若所有过 $p$ 的测地线都是闭的，则称为极点；若所有测地线都回绕但并非全部光滑闭，则称为非极自焦点。二维三轴椭球的脐点即是非极自焦点。关于维数 $\geq 3$ 的黎曼流形自焦点的存在性所知甚少。我们证明具有至少 4 个不同轴的维数 $\geq 3$ 椭球没有自焦点。某些具有三个不同轴的维数 $\geq 3$ 椭球确有非极自焦点。具有 $\leq 2$ 个不同轴的椭球总有自焦点。自焦点在 $L^{\infty}$ 范数下的拉普拉斯特征函数研究中起重要作用。我们的结果意味着在具有至少 $4$ 个不同轴的维数 $\geq 3$ 椭球上，拉普拉斯特征函数从未达到极大的上确界范数增长。