自对偶格拉斯曼流形、朗斯基映射与 $\mathfrak{gl}_N$、${\mathfrak{sp}}_{2r}$、${\mathfrak{so}}_{2r+1}$ 的表示

我们定义了 $N$ 平面格拉斯曼流形 $\mathrm{Gr}(N,d)$ 的一个 $\mathfrak{gl}_N$-分层。该 $\mathfrak{gl}_N$-分层由层 $\Omega_{\mathbf{\Lambda}}$ 组成，这些层由无序集合 $\mathbf{\Lambda}=(\lambda^{(1)},\dots,\lambda^{(n)})$ 标记，其中每个元素为至多 $N$ 个部分的非零划分，满足依赖于 $d$ 的条件，且 $(\otimes_{i=1}^n V_{\lambda^{(i)}})^{\mathfrak{sl}_N}\ne 0$。此处 $V_{\lambda^{(i)}}$ 是最高权为 $\lambda^{(i)}$ 的不可约 $\mathfrak{gl}_N$-模。我们证明层 $\Omega_{\mathbf{\Lambda}}$ 的闭包是层 $\Omega_{\mathbf\Xi}$（其中 $\mathbf{\Xi}=(\xi^{(1)},\dots,\xi^{(m)})$）的并集，使得存在 $\{1,2,\dots,n\}$ 的一个划分 $\{I_1,\dots,I_m\}$ 满足对 $i=1,\dots,m$ 有 ${\rm {Hom}}_{\mathfrak{gl}_N} (V_{\xi^{(i)}}, \otimes_{j\in I_i}V_{\lambda^{(j)}}\big)\neq 0$。格拉斯曼流形的 $\mathfrak{gl}_N$-分层与朗斯基映射一致。我们引入并研究了新对象：自对偶格拉斯曼流形 $\mathrm{sGr}(N,d)\subset \mathrm{Gr}(N,d)$。我们的主要结果是自对偶格拉斯曼流形的类似 $\mathfrak{g}_N$-分层，当 $N=2r+1$ 时由李代数 $\mathfrak {g}_{2r+1}:=\mathfrak{sp}_{2r}$ 的表示理论支配，当 $N=2r$ 时由李代数 $\mathfrak g_{2r}:=\mathfrak{so}_{2r+1}$ 的表示理论支配。