图的分区密度、星树枝数与拉普拉斯特征值和

设 $G=(V,E)$ 为一个拥有 $n$ 个顶点的图，设 $\lambda_1(L(G))\ge \cdots\ge \lambda_{n-1}(L(G))\ge \lambda_n(L(G))=0$ 为其拉普拉斯矩阵 $L(G)$ 的特征值。Brouwer 猜想指出，对每一个 $1\le k\le n$，都有 $\sum_{i=1}^k \lambda_i(L(G)) \le |E|+\binom{k+1}{2}$。本文证明了Brouwer 猜想的一个弱版本：对每一个 $1\leq k \leq n$，都有 $$\sum_{i=1}^k \lambda_i(L(G)) \leq |E|+k^2+15k\log{k}+65k.$$ 对图 $G=(V,E)$，我们定义其分区密度 $\tilde{\rho}(G)$ 为其所有子图 $H$ 中，边数与 $H$ 最大连通分支顶点数之比的最大值。我们的论证依赖于研究满足 $\tilde{\rho}(G)< k$ 的图的结构。特别地，我们利用 Alon、McDiarmid 和 Reed 的结果，表明这样的图可以分解为最多 $k+ 15\log{k}+65$ 条无边冲突的星森林（即所有连通分支均同构于星形的森林）。此外，我们证明对每一个图 $G=(V,E)$ 和每一个 $1\le k\le |V|$，都有 $$\sum_{i=1}^k \lambda_i(L(G)) \leq |E|+k\cdot \nu(G) + \left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor,$$其中 $\nu(G)$ 为图 $G$ 中匹配数的最大值。