GL_n(A_Q) 自对偶自守表示的密度

我们研究了 $GL_N(\mathbb{A_Q})$ 的自对偶尖点自守表示的数量 $N_{\mathrm{sd}}^K(\lambda)$，这些表示相对于固定的紧子群 $K$ 是 $K$-球形的，且其 Laplacian 特征值 $\leq \lambda$。我们证明了 $N_{\mathrm{sd}}^K(\lambda)$ 的弱 Weyl 定律，其形式为存在正常数 $c_1, c_2$（依赖于 $K$）和 $d$，使得对于所有足够大的 $\lambda$，有 $c_1\lambda^{d/2}\leq N_{\mathrm{sd}}^K(\lambda)\leq c_2\lambda^{d/2}$。当 $N=2n$ 为偶数且 $K$ 在所有位处均为极大紧子群时，我们证明了自对偶表示数量的 Weyl 定律，即 $N_{\mathrm{sd}}^K(\lambda)=c\lambda^{d/2}+o(\lambda^{d/2})$。这些结果基于考虑自对偶表示 $\Pi$ 到拟分裂经典群 $\mathbf G$ 的函子下降。为了关联函子性下表示的性质，我们讨论了实分量 $\Pi_\infty$ 的无穷小特征，它决定了 Laplacian 特征值。为了关联 $K$-固定向量的存在性，我们研究了 $p$-进表示的深度，证明了深度保持的一个弱版本。我们还考虑了局部下降的显式构造，这使得我们能够改进关于一般表示深度保持的结果。