$\mathfrak{gl}(m|n)\oplus\mathfrak{gl}(m|n)$ 与 $\mathfrak{gl}(m|2n)$ 的 Capelli 特征值问题的精细解

设 $\mathfrak g$ 为李超代数 $\mathfrak{gl}(V)\oplus\mathfrak{gl}(V)$（其中 $V:=\mathbb C^{m|n}$），或为李超代数 $\mathfrak{gl}(V)$（其中 $V:=\mathbb C^{m|2n}$）。进而，设 $W$ 为 $\mathfrak g$-模，前一种情形定义为 $W:=V\otimes V^*$，后一种情形定义为 $W:=\mathcal S^2(V)$。与 $(\mathfrak g,W)$ 相伴，存在 Capelli 算子的一个特殊基 $\left\{D^\lambda\right\}_{\lambda\in\Omega}$，由钩形划分集 $\Omega$ 自然索引，对应于 $W$ 上超微分算子超代数 $\mathcal{PD}(W)$ 中 $\mathfrak g$-不变子代数。设 $\mathfrak b$ 为 $\mathfrak g$ 的 Borel 子代数。我们计算 $D^\lambda$ 在 $\mathcal{P}(W)$ 的不可约 $\mathfrak g$-子模上的特征值，并将其显式表示为 Sergeev--Veselov 插值超 Jack 多项式在 $\mathfrak b$-最高权的合适仿射函数处的取值。前一种情形直截了当，后一种则显著更复杂。这推广了 Sahi、Salmasian 与 Serganova 在这些情形下的结果，他们针对固定 Borel 子代数选择给出了此类公式。