球超调和函数的Capelli算子与Dougall-Ramanujan恒等式

设$(V,\omega)$为一个正交辛$\mathbb Z_2$-分次向量空间，令$\mathfrak g:=\mathfrak{gosp}(V,\omega)$表示$(V,\omega)$的相似超代数。当$V$上的超多项式空间$\mathscr P(V)$\emph{不是}$\mathfrak g$-完全可约模时，我们为$V$上的$\mathfrak g$-不变超多项式超微分算子代数构造了一组自然的Capelli算子基$D_\lambda$，其中指标集$\mathcal P$为长度至多2的整数分拆的集合。我们显式计算了算子$D_\lambda$在$\mathscr P(V)$的极大不可分解分量上的作用，用Knop-Sahi插值多项式表示。我们的结果表明，与$\mathscr P(V)$完全可约的情况不同，其中一个$D_\lambda$子族的特征值\emph{不是}通过Knop-Sahi多项式的特化给出的。相反，这些特征值的公式涉及这些多项式的适当正则化形式。此外，我们展示了该Capelli算子子族的特征值公式与Dougall-Ramanujan超几何恒等式之间的密切关系。我们还将关于Capelli算子特征值的结论推广到Deligne范畴$\mathsf{Rep}(O_t)$。更确切地说，我们定义了范畴Capelli算子$\{\mathbf D_{t,\lambda}\}_{\lambda\in\mathcal P}^{}$，它们诱导出$\mathsf V_t$的对称幂的不可分解分量间的态射，其中$\mathsf V_t$是$\mathsf{Rep}(O_t)$的生成对象。我们得到了与$\left\{\mathbf D_{t,\lambda}\right\}_{\lambda\in\mathcal P}$算子相关的特征值多项式的公式，类似于我们对$\{D_\lambda\}_{\lambda\in\mathcal P}^{}$算子的结果。