完备黎曼流形上 $\mathfrak{L}^{2}_{\nu}$ 算子的夹持板问题的特征值

$\mathfrak{L}_{\nu}$ 算子是一类重要的散度型外蕴微分算子，具有深刻的几何背景。本文考虑完备黎曼流形有界域上 $\mathfrak{L}^{2}_{\nu}$ 算子的夹持板问题。我们建立了 $\mathfrak{L}^{2}_{\nu}$ 算子特征值的一般公式。应用该一般公式，我们得到了完备黎曼流形上高阶特征值的一些估计。作为若干有趣的应用，我们讨论了该特征值问题在完备平移孤子、欧氏空间中的极小子流形、单位球面与射影空间中的子流形上的情形。特别地，我们得到了平移孤子上关于 $\mathcal{L}_{II}$ 算子的一个普适不等式。通常，在完备黎曼流形上获得加权拉普拉斯乃至拉普拉斯算子的普适不等式是非常困难的。因此，本工作可视为对普适不等式的新贡献。