平面格拉斯曼簇的非缺陷性

设$Gr(k,n)$为$\P n$中射影$k$平面的格拉斯曼簇的Plücker嵌入。对于射影簇$X$，令$\sigma_s(X)$表示其$s-1$割线簇的簇。更精确地说，$\sigma_s(X)$表示位于$X$上的$s$元组点的线性张成的并集的Zariski闭包。我们给出了两个函数$s_0(n)\le s_1(n)$，使得当$n\geq 9$且要么$s\le s_0(n)$要么$s_1(n)\le s$时，$\sigma_s(Gr(2,n))$具有期望的维数。$s_0(n)$和$s_1(n)$都渐近于$\frac{n^2}{18}$。这渐近地给出了$\wedge^{3} 1pt {\mathbb C}^{n+1}$中一个元素的典型秩。最后，我们分类了所有$s\le 6$时缺陷的$\sigma_s(Gr(k,n))$，并给出了每个缺陷情况背后的几何论证。