Grassmannians Gr(N-1,N+1)、闭微分 N-1 形式与 N 维可积系统

Grassmannians Gr(N-1,N+1) 上的可积流由与 Gr(N-1,N+1) 自然关联的秩为 N-1 的微分 N-1 形式 $\Omega_{N-1}$ 的闭性要求所定义。这些流的规范不变部分由 N-1 个拟线性微分方程组给出，描述了 (N-1) 维线性子空间的合向形变。对于单变量中为洛朗多项式的解类，这些系统与 N 维可积系统一致，如 Liouville 方程 (N=2)、无色散 Kadomtsev-Petviashvili 方程 (N=3)、无色散 Toda 方程 (N=3)、Plebanski 第二天象方程 (N=4) 等。形式 $\Omega_{N-1}$ 的规范不变部分为我们提供了相应层级的紧凑形式。与射影对偶 Grassmannians Gr(2,N+1) 关联的对偶拟线性系统通过对偶形式 $\Omega_{N-1}^{\star}$ 的闭性要求来定义。我们证明了在 N=3 时，与调和（闭且余闭）形式 $\Omega_{2}$ 关联的自对偶拟线性系统与正交电场和磁场的 Maxwell 方程一致。