Grassmannian 上的无约束二次优化问题是 NP-hard

我们证明了在Grassmannian $\operatorname{Gr}(k,n)$ 上的无约束二次优化问题是NP-hard的。我们的结果涵盖所有情景：（i）当k和n都可以增长时；（ii）当k是任意的但固定时；（iii）当k固定在其最小可能值1时。随后我们推导出在Stiefel 流形 $\operatorname{V}(k,n)$ 和正交群 $\operatorname{O}(n)$ 上的无约束三次优化问题的NP-hardness。作为附录，我们展示了在Cartan 流形上进行无约束二次优化问题的NP-hardness，即将正定锥 $\mathbb{S}^n_{\scriptscriptstyle++}$ 视为黎曼流形，这是流行的流形优化示例。我们还将在所有情况下建立不存在 $\mathrm{FPTAS}$ 的事实。