关于对称正定矩阵的Riemannian优化：Alpha-Procrustes几何
最优化与控制
2026-05-04 v1
摘要
在Riemannian优化中，众所周知，Riemannian Hessian在最优处的条件数强烈影响优化算法的渐近收敛行为。在对称正定(SPD)矩阵的流形上，诸如仿射不变(AI)和Bures-Wasserstein(BW)等常用优化度量， tend to become ill-conditioned as the underlying SPD matrix becomes ill-conditioned。因此，即使欧几里得Hessian在SPD流形上保持均匀良好的条件，优化在与病态SPD矩阵相关联的最优处仍可能变得困难。本文通过Alpha-Procrustes(AP)几何来解决这一问题。该几何概括了包括log-Euclidean(LE)度量于α=0和BW度量于α=1/2的多个著名度量。我们首先表明，当α=1时，所有Riemannian度量算子由AP几何诱导出的特征值独立于底层SPD矩阵而均匀受限。因此，在假设欧几里得Hessian满足均匀谱界的条件下，相应的Riemannian Hessian的所有特征值也独立于底层SPD矩阵而均匀受限。最终，α=1提供了一个针对涉及病态SPD矩阵的多个Riemannian优化问题的稳健几何框架。我们最后通过大量数值实验验证了我们的理论发现。
引用
@article{arxiv.2605.00396,
title = {Riemannian Optimization over Symmetric Positive Definite Matrices with the Alpha-Procrustes Geometry},
author = {Derun Zhou and Keisuke Yano and Mahito Sugiyama},
journal= {arXiv preprint arXiv:2605.00396},
year = {2026}
}