基于三种不同度量的 Hermitian 半正定固定秩约束黎曼优化：扩展版

针对带有 Hermitian 半正定固定秩约束的光滑优化问题，我们考虑三种现有方法，包括简单的 Burer–Monteiro 方法，以及商几何与嵌入几何上的黎曼优化。这三种方法均可借助三种黎曼度量 $g^i(\cdot, \cdot)$ $(i=1,2,3)$ 通过商几何表示。以非线性共轭梯度法（CG）为例，我们证明基于因子的 Burer–Monteiro 方法中的 CG 等价于带 Bures-Wasserstein 度量 $g^1$ 的商几何上的黎曼 CG。带度量 $g^3$ 的商几何上的黎曼 CG 等价于嵌入几何上的黎曼 CG。为比较三种方法，我们分析了在三种不同度量下极小点附近的黎曼 Hessian 的条件数。在特定假设下，Bures-Wasserstein 度量 $g^1$ 所得条件数与其余两种度量显著不同。数值实验表明，当极小点秩亏时，Burer–Monteiro CG 方法的渐近收敛速率明显更慢，这与条件数分析一致。