无正交化共轭梯度法求解Hermitian矩阵极端特征值的收敛性：一种黎曼优化解释
数值分析
2023-12-05 v3 数值分析
最优化与控制
摘要
在许多应用中，希望通过高效紧凑的算法获得大型Hermitian矩阵的极端特征值和特征向量。特别地，对于大规模问题，无正交化方法更受青睐，因为它可在每次迭代中不明确计算正交向量而寻找极端特征值的特征空间。对于前个特征值，最简单的无正交化方法是用求解无约束Burer-Monteiro公式的算法，寻找半正定Hermitian矩阵的最佳秩-近似。我们证明了无约束Burer-Monteiro公式的非线性共轭梯度法等价于具有Bures-Wasserstein度量的商流形上的黎曼共轭梯度法，从而可证明其全局收敛到驻点。数值测试表明，若最大的个特征值近似均匀分布，该方法对大规模矩阵计算最大个特征值是高效的。
引用
@article{arxiv.2302.04974,
title = {On the convergence of orthogonalization-free conjugate gradient method for extreme eigenvalues of Hermitian matrices: a Riemannian optimization interpretation},
author = {Shixin Zheng and Haizhao Yang and Xiangxiong Zhang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2302.04974},
year = {2023}
}