正定算子间的 Alpha Procrustes 度量：Bures-Wasserstein 与 Log-Euclidean/Log-Hilbert-Schmidt 度量的统一表述
泛函分析
2019-08-27 v1
摘要
本文给出对称正定（SPD）矩阵集合上一类参数化距离族，即 Alpha Procrustes 距离。Alpha Procrustes 距离提供了一种统一表述，涵盖了 SPD 矩阵间的 Bures-Wasserstein 距离与 Log-Euclidean 距离。我们证明 Alpha Procrustes 距离是 SPD 矩阵流形上一族黎曼度量对应的黎曼距离，该族度量同时涵盖 Log-Euclidean 与 Wasserstein 黎曼度量。随后将该表述推广至希尔伯特空间上正定 Hilbert-Schmidt 算子集合，统一了无限维 Bures-Wasserstein 距离与 Log-Hilbert-Schmidt 距离。在再生核希尔伯特空间（RKHS）协方差算子的情形下，我们通过相应的核 Gram 矩阵得到了所有距离的闭式公式。从统计角度看，Alpha Procrustes 距离在有限维情形下导出欧氏空间上、在无限维情形下导出可分离希尔伯特空间上一族参数化高斯测度距离，涵盖 2-Wasserstein 距离，并在 RKHS 设定下通过 Gram 矩阵给出闭式公式。所提出的表述在有限与无限维设定下均为新的。
关键词
引用
@article{arxiv.1908.09275,
title = {Alpha Procrustes metrics between positive definite operators: a unifying formulation for the Bures-Wasserstein and Log-Euclidean/Log-Hilbert-Schmidt metrics},
author = {Minh Ha Quang},
journal= {arXiv preprint arXiv:1908.09275},
year = {2019}
}
备注
35 pages, extended version of a paper appearing in Geometric Science of Information (GSI) 2019