不同秩协方差矩阵之间 Bures-Wasserstein 极小测地线

配备 Bures-Wasserstein 距离的协方差矩阵集合，是正交群在方阵欧几里得空间上光滑、真且等距作用的轨道空间。该构造在协方差矩阵上诱导出自然的轨道分层，恰好就是按秩的分层。因此，各层是固定秩的对称半正定（PSD）矩阵流形，并赋予 Bures-Wasserstein 黎曼度量。在本工作中，我们研究 Bures-Wasserstein 距离的测地线。首先，我们通过澄清指数映射的原像集合并明确单射域，补全了各层内测地线的文献。我们还给出了先前工作中隐式保留的水平提升、指数映射和黎曼对数的显式公式。其次，我们给出了连接任意秩的两个协方差矩阵的所有极小测地线段的表达式。更确切地说，我们证明了两个协方差矩阵 $\Sigma$ 和 $\Lambda$ 之间所有极小测地线的集合由谱范数下 $\mathbb{R}^{(k-r)\times(l-r)}$ 的闭单位球参数化，其中 $k, l, r$ 分别是 $\Sigma$、$\Lambda$、$\Sigma\Lambda$ 的秩。特别地，极小测地线当且仅当 $r = \min(k, l)$ 时唯一。否则，存在无穷多条。