随机平面映射上临界 Fortuin-Kasteleyn 模型的缩放极限 III：有限体积情形

我们证明了 Sheffield (2011) 库存累积模型有限体积版本的缩放极限结果，该模型编码了一个由来自临界 Fortuin-Kasteleyn (FK) 模型采样得到的一族环所装饰的随机平面映射。特别地，我们证明了与该模型有限体积版本相关的随机游走在缩放极限下收敛于一个相关的布朗运动 $\dot Z$，其条件为停留在第一象限达两个时间单位并满足 $\dot Z(2) = 0$。我们还证明了描述离散模型中 FK 环的互补连通分量出现的时间收敛于 $\dot Z$ 的 $\pi/2$-锥时间。结合 Duplantier、Miller 和 Sheffield 近期的结果，我们的结果表明有限体积 FK 平面映射上 FK 环的许多有趣泛函（例如其边界长度与面积）在缩放极限下收敛于 $4/\sqrt\kappa$-刘维尔量子引力球上 CLE$_\kappa$ 环的相应“量子”泛函，其中 $\kappa \in (4,8)$。我们的结果是 Sheffield (2011) 与 Gwynne、Mao 和 Sun (2015) 所证明的无限体积版本库存累积模型缩放极限定理的有限体积类比。