加权平面随机晶格中的无标度配位数无序与多重分形尺寸无序

正方晶格也许是最简单的胞状结构。然而，在本工作中，我们研究了正方晶格的动力学与随机对应物的各种结构和拓扑性质，并分别将其称为动力学正方晶格（KSL）和加权平面随机晶格（WPSL）。我们发现 WPSL 遵循若干非平庸守恒律演化，即 $\sum_i^N x_i^{n-1} y_i^{{{4}\over{n}}-1}={\rm const.}\ \forall \ n$，其中 $x_i$ 和 $y_i$ 分别是第 $i$ 个胞块的长和宽。另一方面，KSL 仅遵循一条守恒律，即总面积守恒，尽管人们可以发现三个表观上不同的守恒积分，但它们实际上就是总面积。我们证明，通过令 $n=1$ 或 $n=4$ 得到的 WPSL 的守恒量之一可用于进行多重分形分析。例如，我们证明如果第 $i$ 个胞块以 $p_i\sim x_i^3$ 或 $p_i\sim y_i^3$ 填充，则 WPSL 中产生的分布会表现出多重分形性。此外，我们证明 WPSL 的对偶（通过将每个胞块替换为其中心的节点，并将胞块间的公共边界替换为连接两顶点的边而获得）呈现为无标度网络，因为其度分布呈现幂律 $P(k)\sim k^{-\gamma}$，指数 $\gamma=5.66$。这意味着 WPSL 的配位数分布具有无标度特征，因为我们发现 $P(k)$ 也描述了具有 $k$ 个邻居的胞块的比例。