具有广义边界条件的 BTZ 背景中的标量场动力学

考虑到时空缺乏全局双曲性，我们重新审视了 BTZ 背景中大质量标量场的动力学。我们采用 Ishibashi 和 Wald 的策略来处理这一问题，该策略将初始数据的因果演化寻找为一个唯一的平滑解，每一种可能的演化对应于初始曲面上 Hilbert 空间中某个算子的一个正自伴延拓。此外，以这种方式获得的解是满足少数几个物理上合理要求的最一般的解。该过程与边界条件的选择和束缚态的存在密切相关。我们发现，在（有效）质量窗口 $-3/4\leq m_e^2\ell^2<0$ 内，标量场动力学可以在单参数族的不同边界条件内得到良好定义（$-3/4$ 为共形耦合情况），而对于 $m_e^2\ell^2\geq 0$，边界条件是唯一的（仅可能有一个自伴延拓）。我们论证了对于 $m_e^2\ell^2<-1$ 不存在合理的演化，并证明了在 $m_e^2\ell^2 \in [-1,-3/4)$ 范围内存在一个 U$(1)$ 族的允许边界条件，然而，自伴延拓的正定性仅有动机支持而未获证明。我们主要侧重于在给定初始数据和所有可能边界条件的情况下描述此类演化的动力学，特别地，我们证明了能量总是正的且守恒。