近凯勒度量的标量曲率函数

对于 admitting 辛结构的闭光滑流形 $M$，我们使用近凯勒度量（即与辛结构相容的黎曼度量）定义了一个光滑拓扑不变量 $Z(M)$。我们还引入了依赖于辛形变等价类 $[[\omega]]$ 的 $Z(M, [[\omega]])$。我们首先证明存在一个 6 维光滑流形 $M$，它具有多个形变等价类，且这些类的 $Z(M, [[\omega]] )$ 符号不同。利用 $Z$ 不变量，我们建立了一个 Kazdan-Warner 型问题，将辛流形分类为三类。最后我们证明，在每一个维数 $\geq 4$ 的闭辛流形 $(M, \omega)$ 上，任何在某处为负且在某处为零的光滑函数，都可以成为与形变等价于 $\omega$ 的辛形式相容的近凯勒度量的标量曲率。