射影流形上的标量曲率与单有理连通性

复几何中的一个基本信条是，在某种意义上，{\it 负} 曲率对应于（例如）复射影流形上有理曲线的缺失，而 {\it 正} 曲率则对应于有理曲线的丰富存在。秉承这一精神，我们在本文中证明：若射影流形 $M$ 具有总标量曲率为正的 K"ahler 度量，则 $M$ 是单有理连通的 (uniruled)，这等价于 $M$ 的每一点都包含在一条有理曲线中。我们还证明，若 $M$ 拥有总标量曲率为零的 K"ahler 度量，则 $M$ 要么是单有理连通的，要么其典范线丛是挠的。后一定理的证明部分基于如下观察：若 $M$ 不是单有理连通的，则 $M$ 上所有 K"ahler 度量的总标量曲率必须具有相同的符号，该符号要么为零，要么为负。