超缩放违背几何中的标量场边界条件

我们研究了在具有Lifshitz动力学指数 $z (z\geqslant1)$ 和超缩放违背指数 $\theta (\theta\neq0)$ 的超缩放违背（HV）几何中，标量场模式可能的边界条件。对于 $\theta>0$ 的情形，我们证明在参数范围 $1\leq z\leq 2,~-z+d-1<\theta\leq (d-1)(z-1)$ 或 $z>2,~-z+d-1<\theta\leq d-1$ 内，边界条件具有不同类型，包括诺伊曼（Neumann）、狄利克雷（Dirichlet）和罗宾（Robin）条件，而在 $\theta\leq-z+d-1$ 的范围内，只能设定狄利克雷型条件。特别地，我们进一步确认了标量场的质量在决定 $\theta>0$ 时可能的边界条件中不起任何作用，这一点已在文献\cite{1201.1905}中提及。同时，我们也对 $\theta<0$ 的情形进行了平行研究。我们发现对于 $m^2<0$，三种类型的边界条件都可用，而对于 $m^2>0$，仅有一种类型可用。