$\mathbb C^n$ 与 $\mathbb C^2\setminus \{0\}$ 上的旋转对称极值 K"ahler 度量

本文研究 $\mathbb C^n$（$n\geq 2$）与 $\mathbb C^2 \backslash\{0\}$ 上的旋转对称极值 K"ahler 度量。我们基于 Calabi 极值方程中出现的多项式的零点，给出此类度量的分类。作为应用，我们证明 $\mathbb C^n$ 上不存在具有正双截曲率的 $U(n)$ 不变完备极值 K"ahler 度量，并给出 $\mathbb{C}^n\backslash\{0\}$ 上 $U(n)$ 不变极值 K"ahler 度量的光滑延拓引理。我们重新得到 Hirzebruch 曲面、$\mathbb{CP}^1$ 上的丛以及加权复射影空间上已知的光滑或奇异极值 K"ahler 度量例子。我们还证明 $\mathbb C^2\backslash\{0\}$ 上的某些解对应于 $\mathbb{CP}^{1}$ 上的复线丛以及 $\mathbb C^2\backslash\{0\}$ 上新的常数量曲率 K"ahler 与严格极值 K"ahler 度量的完备族。