极小直纹面上锥型高阶 cscK 度量的存在性

高阶极值 Kähler 度量被定义为（受极值 Kähler 度量定义的启发）其顶 Chern 形等于一个光滑函数乘以其体积形式，且该函数的梯度为全纯向量场的度量。其一个特例是高阶 cscK 度量，其被定义为（同样通过与 cscK 度量定义的类比）顶 Chern 形为其体积形式的常数倍，或等价地，其顶 Chern 形为调和的度量。在我们先前关于高阶极值 Kähler 度量的论文中，我们考察了某一类称为伪-Hirzebruch 曲面的极小直纹曲面，它们均包含两个特殊除子（即零除子和无穷除子），并在动量构造中作为示例流形，该构造用于生成上述各类典范度量的显式示例。我们已证明此类曲面上的每个 Kähler 类均容许一个非高阶 cscK 的高阶极值 Kähler 度量，并进一步利用顶 Bando-Futaki 不变量证明了该曲面上任何 Kähler 类中均不存在高阶 cscK 度量。在本文中，我们将看到，若允许度量沿两个特殊除子中的至少一个发展出锥奇点，则通过动量构造确实能在每个 Kähler 类中得到锥型高阶 cscK 度量。我们将证明所构造的度量满足锥型 Kähler 度量的多齐次条件，并利用沿两个除子的积分流在曲面上全局地解释锥型高阶 cscK 方程。我们将引入顶 $\log$ Bando-Futaki 不变量，随后利用它得出沿两个除子的锥奇点的锥角之间的某一猜想性线性关系。