Rogers-Ramanujan 正合序列与自由广义顶点代数上的自由表示

我们从自由（广义）顶点代数上的自由表示的角度研究了 Rogers-Ramanujan 递归关系。具体地，我们构造了自由广义顶点代数上自由表示之间的短正合序列，这些序列提升了递归关系。它们自然地推广了 S. Capparelli 等人引入的正合序列。我们还证明了 Rogers-Ramanujan 递归关系的一个类似物被实现为某个有限维顶点代数上有限维自由表示之间的正合序列。作为正合序列的一个应用，我们揭示了自由广义顶点代数与 B. Feigin 等人引入的 $\hat{\mathfrak{sl}}_2$ 共不变空间 $L_{1,0}^{N,\infty}(\mathfrak n)$ 之间的关系。此外，我们证明了广义 $q$-Fibonacci 递归关系可以通过对自由广义顶点代数上自由表示之间的正合序列应用若干函子而实现为正合序列。最后，我们从自由表示和正合序列的角度，考虑了 M. Bershtein 等人给出的与 Urod 顶点算子代数相关的基本 $\hat{\mathrm{sl}}_2$-模 $L_{1,0}$ 的特征分解公式。