$\beta$-FPUT 系统波动力学方程的严格推导

波动力学理论被提出作为一种理解 Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPUT) 系统长期统计行为的途径，旨在确定热化时间尺度。自该模型在 20 世纪 50 年代提出以来，后者一直是一个重要问题。在本学位论文中，我们针对通过移除非共振项从 $\beta$-FPUT 系统得到的约化演化方程，建立了波动力学方程。我们在动力学极限 $N\to \infty$ 和 $\beta\to 0$ 下工作，标度律为 $\beta=N^{-\gamma}$，其中 $0<\gamma<1$。该结果在次动力学时间尺度 $T=N^{-\epsilon}\min\bigl(N,N^{5\gamma/4}\bigr)=N^{-\epsilon}T_{\mathrm{kin}}^{5/8}$（对于 $\epsilon\ll 1$）内成立，其中 $T_{\mathrm{kin}}$ 代表动力学（热化）时间尺度。本工作的创新之处包括对非多项式色散关系的处理，以及引入一种稳健的相位重正化论证来抵消危险的发散相互作用。