由相互作用的 Bouchaud 陷阱模型的马尔可夫系统导出的分数阶动力学方程

我们考虑在随机陷阱环境中于 $\mathbb Z^d$ 上演化的部分排斥过程。在维度 $d\ge 2$ 时，我们推导出分数阶动力学方程 \begin{equation*}\frac{\partial^\beta\rho_t}{\partial t^\beta} = \Delta \rho_t \end{equation*} 作为粒子系统的流体力学极限。此处，$\frac{\partial^\beta}{\partial t^\beta}$，$\beta\in(0,1)$，表示 Caputo 意义下的分数阶导数。因此我们展示了一个马尔可夫相互作用粒子系统，其经验密度场重标度到对应于非马尔可夫过程（分数阶动力学过程）的亚扩散方程。相反，我们证明当 $d=1$ 时，系统重标度到 \begin{equation*} \frac{\partial \rho_t}{\partial t}= \mathcal L_\beta \rho_t\ , \end{equation*} 的解，其中 $\mathcal L_\beta$ 是称为 FIN 扩散的奇异拟扩散的随机生成元。