负曲率下全测地超曲面的刚性

设$M$为含全测地超曲面$S$的闭双曲流形,$N$为与$M$同伦等价且截面曲率上界为$-1$的闭黎曼流形。由Besson-Courtois-Gallot的工作可知,$\pi_1(S)$可由$N$中体积不大于$S$的超曲面$S'$表示。我们研究等号情形:若$\pi_1(S)$无法由$N$中体积严格小于$S$的超曲面$S'$表示,则$N$是否必与$M$等距?我们证明许多此类$S$是刚性的,即该问题答案为肯定。另一方面,我们构造了答案为否定的$S$的实例。