等距延拓的刚性与柔性

在本文中，我们考虑$C^{1, \theta}$等距延拓的刚性与柔性，并证明Hölder指数$\theta_0=\frac12$是临界性的，意义如下：若$u\in C^{1,\theta}$是余维一子流形$\Sigma$的光滑等距嵌入的等距延拓且$\theta> \frac12$，则切向联络沿$\Sigma$与Levi-Civita联络一致。另一方面，对任意$\theta<\frac12$，我们可通过凸积分构造出违背该性质的$C^{1,\theta}$等距延拓。作为副产品，我们还得到了具有$C^1$度量的紧致黎曼流形在$\theta<\frac12$时的$C^{1, \theta}$等距嵌入存在性定理，以及更锐利的余维数量。