重新思考 Langlands 关于 Eisenstein 系列的工作

Langlands 丛书《On the functional equations satisfied by Eisenstein series》第7章采用精细的残差方案构建离散自守谱谱的一部分。我们通过例子、应用和启发式方法，表明这一构建是对 cuspidal Eisenstein 系列在关键点处的直接正则化，且正则化必须同时追踪这些 Eisenstein 系列的零点和极点。不同于一元情形，多复变量meromorphic函数的零点集合和极点集合可以在点处相交。支持离散谱的关键点通常正是这种情况。较少见的 cuspidal Eisenstein 系列零点——在秩一情形中几乎不可见——在高秩情形中开始在零点和极点之间起主导作用。我们重新计算 Langlands 著名的 $G_{2}$ 计算，表明一旦追踪零点，计算便归约为初等代数。基于秩二例子，我们引入一个程序，从原则上重新思考 Langlands 的构建，使 cuspidal Eisenstein 系列的零点和极点从一开始就平等对待。该程序的优势在于使底层现象透明显现，尽管要完全通用地实现仍需进一步工作。