具有剖面函数的波动方程解的表示

在 $\mathbb{R}^d$ 中具有常系数的波动方程的解可在傅里叶空间中显式表示。我们研究一种重构公式，该公式为大时间下解 $u(.,t)$ 对初始数据 $u_0(.)$ 提供了近似。该重构包含三步：1) 给定 $u_0$，提取剖面方程的初始数据。2) 剖面演化方程确定在时刻 $\tau = \varepsilon^2 t$ 的剖面形状。3) 壳层重构算子将剖面变换为 $\mathbb{R}^d$ 上的函数。所勾勒的构造简化了波动方程，因为只需在一个 $O(1)$ 时间跨度内求解一维问题。我们证明该构造对阶为 $\varepsilon^{-2}$ 的时间 $t$ 提供了对波动演化算子的良好近似。