三对角表示方法中非相对论波动方程的求解

我们选择一组完备的平方可积函数作为位形空间中波函数展开的基，使得非相对论定态波动算子的矩阵表示为三对角且对称的。因此，矩阵波动方程成为该基下波函数展开系数的对称三项递推关系。然后，利用能量的正交多项式精确求解了该递推关系。其中一些多项式在数学文献中未见记载。这些多项式的渐近行为给出了连续能量散射态的相移和离散能量束缚态的能谱。根据空间与边界条件的不同，基函数以 Laguerre 或 Jacobi 多项式表示。三对角要求限制了能给出波动方程精确解的势函数数目。尽管如此，该方法中可精确求解的问题类比传统可解类更大（见表 12）。对于波动算子矩阵非三对角但其元素可精确或高精度数值计算的情形，我们也给出了非常精确的结果。