再规范化体积、Polyakov 异常与轨道化黎曼曲面

在 arXiv:2310.17536 中，作者们研究了函数 $\mathscr{S}_{\boldsymbol{m}} = S_{\boldsymbol{m}} - \pi \sum_{i=1}^n (m_i - \tfrac{1}{m_i}) \log \mathsf{h}_{i}$ 用于在广义 Schottky 空间 $\mathfrak{S}_{g,n}(\boldsymbol{m})$ 上的具有签名 $(g;m_1,...,m_{n_e};n_p)$ 的轨道化黎曼曲面。本文我们证明了 $\mathscr{S}_{\boldsymbol{m}}$ 与对应具有圆锥奇点的 Schottky 3-轨道化空间的再规范化双曲体积 $V_{\text{ren}}$ 之间的全息二义性。在经典 Liouville 作用量作用于 $\mathfrak{S}_{g}$ 和 $\mathfrak{S}_{g,n}(\boldsymbol{\infty})$ 的情况下，全息原理分别在 arXiv:hep-th/0005106v2 和 arXiv:1508.02102 中已被证明。我们的结果表明，$V_{\text{ren}}$ 是用于轨道化黎曼曲面上局部指数定理中出现的 Weil-Petersson 与 Takhtajan-Zograf 度规组合的 Kahler 势。此外，我们展示了在共形变换下，函数 $\mathscr{S}_{\boldsymbol{m}}$ 的变化等价于 Polyakov 异常，这表明函数 $\mathscr{S}_{\boldsymbol{m}}$ 是具有唯一双曲解的一致高度函数。因此，相关的再规范化双曲体积 $V_{\text{ren}}$ 也具有 Polyakov 异常公式。我们所采用的方法可能为推导具有离散点 (cusps) 的黎曼曲面的再规范化 Polyakov 异常提供另一种方法，参见 arXiv:0909.0807。