经典刘维尔作用量与轨道黎曼曲面的均匀化

我们研究了在带有阶数为 $m_i>1$ 的支点相联络的顶点算子的情形下，亏格 $g>1$ 的黎曼曲面上的经典刘维尔场论。为此，我们考虑广义 Schottky 空间 $\mathfrak{S}_{g,n}(\boldsymbol{m})$，它是作为（紧化）底层黎曼曲面的 Schottky 空间 $\mathfrak{S}_g$ 上的全纯纤维化而得到的。这些纤维对应于阶数为 $\boldsymbol{m}=(m_1,\dots,m_n)$ 的 $n$ 个轨道点的构型空间。借鉴 Park、Teo 和 Takhtajan \cite{park2015potentials} 以及 Takhtajan 和 Zograf \cite{ZT_2018} 的先前工作，我们为 $\mathfrak{S}_{g,n}(\boldsymbol{m})$ 上自守线丛 $\mathscr{L}_i$ 定义了 Hermite 度量 $\mathsf{h}_i$。这些度量用 Schottky 区域的覆盖映射 $J$ 展开的第一系数表示。此外，我们利用亏格 $g>1$ 的黎曼轨道曲面上的 Schottky 全局坐标定义了正则化经典刘维尔作用量 $S_{\boldsymbol{m}}$。我们证明 $\exp{S_{\boldsymbol{m}}/\pi}$ 作为 $\mathbb{Q}$-线丛 $\mathscr{L}=\bigotimes_{i=1}^{n}\mathscr{L}_i^{\otimes (1-1/m_i^2)}$ 在 $\mathfrak{S}_{g,n}(\boldsymbol{m})$ 上的 Hermite 度量。进而，我们显式计算了光滑实值函数 $\mathscr{S}_{\boldsymbol{m}}=S_{\boldsymbol{m}}-\pi\sum_{i=1}^n(m_i-\tfrac{1}{m_i})\log\mathsf{h}_{i}$ 在 Schottky 形变空间 $\mathfrak{S}_{g,n}(\boldsymbol{m})$ 上的一阶与二阶变分。我们确立了两个关键结果：(i) $\mathscr{S}_{\boldsymbol{m}}$ 生成附加参数与辅助参数的一个组合，(ii) $-\mathscr{S}_{\boldsymbol{m}}$ 作为轨道黎曼曲面局部指标定理 \cite{ZT_2018} 中出现的 Weil-Petersson 与 Takhtajan-Zograf 度量的一个特定组合的 K\"{a}hler 势。