Riemann-Roch 同构、Chern-Simons 不变量与 Liouville 作用量

利用算术 Schottky 均匀化理论，我们证明了 $PSL_{2}({\mathbb C})$ Chern-Simons 不变量的算术性。借助该不变量，我们将 Riemann-Roch 同构表示为代数曲线族的 Zograf-Mcintyre-Takhtajan 无穷乘积的显式公式。通过此公式，我们确定了通过经典 Liouville 作用量表达的 Riemann 面上 Laplace 算子行列式全纯分解公式中出现的未知常数。作为应用，我们证明了 Schottky 均匀化 $3$-流形的 Ruelle zeta 值的有理性。