关于曲线并集维数的注记

我们研究高维中 Marstrand 圆填充问题对于曲线的类比。考虑由 $\mathbb R^d$ 中曲线 $\gamma$ 的平移和伸缩生成的曲线族，即 $x + t \gamma$，$(x,t) \in \mathbb R^d \times (0,\infty)$。对于 Borel 集 $F \subset \mathbb R^d\times (0,\infty)$，我们证明当 $F$ 的 Hausdorff 维数大于 $\alpha$（$\alpha\in (0, d-1)$）时，曲线并集 $\bigcup_{(x,t) \in F} ( x+t\gamma )$ 的 Hausdorff 维数至少为 $\alpha+1$。我们也获得了关于由 $\gamma$ 的多参数伸缩生成的曲线并集的结果。主要要素之一是相对于分形测度的局部光滑型估计（对曲线上平均的估计）。