关于 Selberg zeta 函数一个特殊值的注记

令 $\CmZ_{Y_0(N)}$ 为模曲线 $Y_0(N)$ 的 Selberg zeta 函数在 $s=1$ 处对数导数的常数项。Jorgenson 和 Kramer 通过将其与几何不变量相关联，建立了界 $\CmZ_{Y_0(N)}=O_\epsilon(N^\epsilon)$，$\epsilon>0$。本文针对 $N$ 为素数的情况，利用 $L$-函数和指数和给出了另一种证明，改进了 Abbes-Ullmo 和 Michel-Ullmo 先前的方法。我们进一步沿同一思路推导出了 $\log N$ 的幂次界。