映射类群的相对 pro-$\ell$ 完备化

固定一个素数 $\ell$。本文发展了离散群和 profinite 群的相对 pro-$\ell$ 完备化理论——这是经典 pro-$\ell$ 完备化概念的自然推广，并证明了当亏格至少为 3 时，Torelli 群的 pro-$\ell$ 完备化不嵌入到相应映射类群的相对 pro-$\ell$ 完备化中。作为应用，我们证明了当 $g > 2$ 时，Torelli 群 $T_{g,1}$ 的 pro-$\ell$ 完备化在点化亏格 $g$ 曲面的 pro-$\ell$ 基本群上的作用不是忠实的。亏格 $g$ 的最大退化稳定曲线的一阶形变的选择，决定了绝对伽罗瓦群 $G_Q$ 在相应映射类群的相对 pro-$\ell$ 完备化上的作用。我们证明了，当一阶形变选择恰当时，对于所有 $g$，所有这些表示在所有素数 $\neq \ell$ 处都是非分歧的。该证明由 Mochizuki 和 Tamagawa 向我们传达。