具有 Bogomolov-Positselski 性质的定向 pro-$\ell$ 群

对于素数 $\ell$,我们称一个定向 pro-$\ell$ 群 $(G,\theta)$ 具有 Bogomolov-Positselski 性质,如果其在极大 $\theta$-交换商 $\pi^{ab}_{G,\theta}\colon G\to G(\theta)$ 上的典范投影的核是包含在 $G$ 的 Frattini 子群中的一个自由 pro-$\ell$ 群。我们证明初等型的定向 pro-$\ell$ 群具有 Bogomolov-Positselski 性质。这表明 Efrat 的初等型猜想蕴含了对 Positselski 版 Bogomolov 猜想的肯定回答,即关于域 $K$ 的极大 pro-$\ell$ Galois 群,在 $K^\times/(K^\times)^\ell$ 有限的情形下。其次,我们证明对于一个 $H^\bullet$-二次定向 pro-$\ell$ 群 $(G,\theta)$,Bogomolov-Positselski 性质可由 Hochschild-Serre 谱序列中转移映射 $d_2^{2,1}$ 的单射性来表达。