Macbeath-Hurwitz 及相关图的正则性质

Macbeath-Hurwitz 图 $M$ 类型为 $\{3,7\}$，由 Macbeath 通过 $G={\rm PSL}_2(q)$ 找到的 Hurwitz 群构成。Singerman 的结果表明 $M$ 完全正则，其自同构群为 $G\times{\rm C}_2$ 或 ${\rm PGL}_2(q)$。Hall 准则决定 $M$ 具有哪些性质，称为内正则或外正则。内（但非外）正则的图 $M$ 可产生自同构群为 $G$ 的相同类型的非 orientable 正则图 $M/{\rm C}_2$。若 $q=p^3$ 且 $p\equiv\pm 2$ 或 $\pm 3$ 模 $(7)$，则唯一的图 $M$ 若且仅若 $p\equiv 1$ 模 $(4)$ 时为内正则。若 $q=p$ 且 $p\equiv\pm 1$ 模 $(7)$，则有三个图 $M$；我们使用 Frobenius 与 Chebotarev 的密度定理表明，在这种情况下，使得 $0,1,2$ 或 $3$ 个图为内正则的素数 $p$ 的相对密度分别为 $1/8$、$3/8$、$3/8$ 和 $1/8$。Hall 准则及其后果推广到类型为 $\{3,n\}$ 的类似 Macbeath 图，由 ${\rm PSL}_2(q)$ 构成，其中 $n\ge 7$；理论对这些图的数量与性质进行了预测，并得到 Conder 和 Poto\v cnik 图数据库中所提供证据的支持。