半线性演化方程 Hartman-Grobman 定理中同胚的高阶正则性

Hein 和 Pr"{u}ss [J. Differential Equations, 261(2016)4709-4727] 针对半线性双曲演化方程提出了 Hartman-Grobman 型 $C^{0}$ 线性化结果的一个版本。他们证明了线性化映射（同胚）及其逆是 H"{o}lder 连续的。一个重要问题是：能否提高同胚的正则性？在本文中，我们证明了如果半线性系统的温和解是有界的，则同胚的正则性是 Lipschitz 的，但其逆仅为 H"{o}lder 连续。我们还在本文中给出了一个广义的局部线性化结果。最后，给出了若干应用以结束本文。正如 Backes [J. Differential Equations, 297 (2021) 536-574] 所指出的，即使微分同胚 $F$ 是 $C^{\infty}$ 的，同胚也可能无法局部 Lipschitz。同胚通常仅局部 H"older 连续。然而，通过建立两个有效的二分性积分不等式，我们证明了共轭是 Lipschitz 的，但其逆是 H"{o}lder 连续的。我们的结果是首个观察到 Hartman-Grobman 定理中同胚具有高阶正则性的工作。