正则双 $p$-代数：Katriňák 定理的逆定理及其应用

1973 年，Katriňák 通过巧妙地用伪补及其对偶构造 Heyting 蕴涵及其对偶的二元项，证明了正则双 $p$-代数可视为（正则）双 Heyting 代数。本文我们证明 Katriňák 定理的逆定理，即在正则对偶伪补 Heyting 代数簇 RDPCH 中，蕴涵运算 $\to$ 满足 Katriňák 公式。作为该结果与上述 Katriňák 定理的应用，我们表明正则双 $p$-代数、正则对偶伪补 Heyting 代数、正则伪补对偶 Heyting 代数和正则双 Heyting 代数各自的簇 RDBLP、RDPCH、RPCH$^d$ 和 RDBLH 彼此项等价；并且正则 De Morgan $p$-代数、正则 De Morgan Heyting 代数、正则 De Morgan 双 Heyting 代数和正则 De Morgan 双 $p$-代数各自的簇 RDMP、RDMH、RDMDBLH、RDMDBLP 也彼此项等价。由这些结果以及 Adams、Sankappanavar 和 vaz de Carvalho 近期的结果，我们推得所有这些簇的子簇格的基数为 $2^{\aleph_0}$。随后我们定义新逻辑 RDPCH、RPCHd 和 RDMH，并表明它们分别可代数化，以 RDPCH、RPCH$^d$ 和 RDMH 为等价的代数语义。还推得上述所有逻辑的外延格的基数均为 $2^{\aleph_0}$。