复杂二维几何中基于配准的模型降阶

我们提出一种通用的——即独立于底层方程的——用于参数化模型降阶的配准过程。给定空间域 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ 以及与参数域 $\mathcal{P} \subset \mathbb{R}^P$ 和参数场 $\mu \mapsto u_{\mu} \in L^2(\Omega)$ 相关的流形 $\mathcal{M}= \{ u_{\mu} : \mu \in \mathcal{P} \}$，我们的方法以一组快照 $\{ u^k \}_{k=1}^{n_{\rm train}} \subset \mathcal{M}$ 为输入，返回一个参数依赖的双射映射 ${\Phi}: \Omega \times \mathcal{P} \to \mathbb{R}^2$：该映射旨在使映射后的流形 $\{ u_{\mu} \circ {\Phi}_{\mu}: \, \mu \in \mathcal{P} \}$ 更适于线性压缩方法。本工作中，我们扩展并进一步分析了[Taddei, SISC, 2020]中提出的配准方法。本工作的贡献有二。首先，我们通过引入合适的坐标系变换将方法扩展至环形域。其次，我们讨论了向一般二维几何的扩展：为此，我们引入谱元近似，其依赖于域 $\Omega$ 的一个划分 $\{ \Omega_{q} \}_{q=1} ^{N_{\rm dd}}$ 使得 $\Omega_1,\ldots,\Omega_{N_{\rm dd}}$ 同构于单位正方形。我们进一步表明谱元近似可应对参数化几何。我们给出严格的数学分析以论证我们的方案；此外，我们给出了环形域热传导问题、绕旋转对称翼型的势流以及绕非对称翼型的无黏跨声速可压缩流的数值结果，以证明方法的有效性。