一种基于优化的配准方法用于几何降维

我们开发并评估了一种基于优化的参数化几何降维方法。给定一族参数化区域，我们的目标是确定一个参数化微分同胚 $\Phi$，对于不同的参数值，该同胚将固定参考区域 $\Omega$ 映射到该族中的每个元素；我们研究的最终目标是为参数化几何中偏微分方程的基于参数化投影的模型降阶确定一个有效工具。对于工程中的实际问题，几何的显式参数化很可能不可用：因此，我们的方法以 $\Omega$ 的参考网格和属于目标区域 $V$ 边界的点云 $\{y_i^{\rm raw}\}_{i=1}^Q$ 作为输入，并返回一个近似将 $\Omega$ 映射到 $V$ 的双射 $\Phi$。我们提出一个两步流程：给定点云 $\{x_j\}_{j=1}^N\subset \partial \Omega$ 和 $\{y_i^{\rm raw}\}_{i=1}^Q \subset \partial V$，我们首先借助点集配准算法确定位移 $\{ v_j \}_{j=1}^N$，使得变形点云 $\{y_j:= x_j+v_j \}_{j=1}^N$ 逼近 $\partial V$；然后，我们求解一个非线性非凸优化问题以构建从 $\Omega$ 到 $\mathbb{R}^d$ 的双射映射 $\Phi$，并（近似）满足对 $j=1,\ldots,N$ 有 $\Phi(x_j) = y_j$。我们给出了严格的数学分析以证明我们的方法；我们进一步给出了详尽的数值实验以展示所提方法的有效性。