复杂几何中用于配准的复合映射

我们针对二维区域中与参数偏微分方程解相关的流形，开发并分析了一种参数化配准过程。给定区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ 以及由参数域 $P \subset \mathbb{R}^P$ 与参数场 $\mu\mapsto u_{\mu} \in L^2(\Omega)$ 关联的流形 $M=\{ u_{\mu} : \mu\in P\}$，我们的方法以 $M$ 中的一组快照为输入，返回一个参数依赖的映射 $\Phi: \Omega \times P \to \Omega$，该映射追踪解场的相干特征（例如激波、剪切层），并最终简化模型降阶的任务。我们考虑形如 $\Phi=\texttt{N}(\mathbf{a})$ 的映射，其中 $\texttt{N}:\mathbb{R}^M \to {\rm Lip}(\Omega; \mathbb{R}^2)$ 是适当的线性或非线性算子；随后，我们将配准问题表述为关于系数 $\mathbf{a}$ 的无约束优化问题。我们确定了算子 $\texttt{N}$ 满足双射约束的最小要求；我们提出了一类满足所需要求并能在 $\Omega$ 的弯曲（非直）边界上实现非平凡形变的复合映射；我们对所提方法在多面体区域上进行了详尽分析，并讨论了其对一般弯曲区域的逼近性质。我们针对参数化无粘跨声速可压缩流经过涡轮叶片叶栅的问题进行了数值实验，以阐明该方法的多重特性。