一种用于模型降阶的配准方法：数据压缩与几何约化

我们提出一种通用的——即独立于底层方程的——用于参数化模型降阶的配准方法。给定空间域 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ 以及 $\Omega$ 上对应于模型参数 $\mu^1,\ldots, \mu^{n_{\rm train}} \in \mathcal{P}$ 的 $n_{\rm train}$ 个值的快照集 $\{ u^k \}_{k=1}^{n_{\rm train}}$，该算法返回一个参数相关的双射映射 $\boldsymbol{\Phi}: \Omega \times \mathcal{P} \to \mathbb{R}^d$：该映射旨在使映射后的流形 $\{ u_{\mu} \circ \boldsymbol{\Phi}_{\mu}: \, \mu \in \mathcal{P} \}$ 更适于线性压缩方法。我们将该配准过程与一种线性压缩方法结合，以构造具有缓慢衰减的 Kolmogorov $N$ 宽度的解流形的低维表示；我们还考虑了在参数化几何问题中的应用。我们给出一个理论结果以表明配准过程的数学严谨性。我们进一步给出了若干二维问题的数值结果，以实证展示我们方法的有效性。