由偏序集导出的Cohen-Macaulay $d$-部杂食簇的递归Betti数

二部图的一个自然推广是$d$-部杂食簇，其中$d \geq 2$为整数。对于偏序集$P$，Ene、Herzog和Mohammadi引入了$P$中长度为$d$的多重链的$d$-部杂食簇$\mathcal{C}_{P,d}$，并证明它是Cohen-Macaulay的。我们证明了$\mathcal{C}_{P,d}$的覆盖理想容许一个$x_i$-分裂，从而确定了其Betti数的递归公式，推广了Francisco、Hà和Van Tuyl关于Cohen-Macaulay二部图覆盖理想的一个结果。此外，我们还证明了Cohen-Macaulay单纯复形的Alexander对偶的一个Betti分裂结果。