通过扩展 Prym 数据恢复带不动点的曲线

对于每个光滑、射影代数曲线 $\tilde{C}$ 及其不含固定点的 involution $\sigma :\tilde{C}\longrightarrow\tilde{C}$，可关联一个 Prym 数据，包含 Prym 变种 $P:=(1-\sigma )J(\tilde{C})$ 以及其上的主极化 $\Xi$，满足 $2\Xi$ 在雅可比 $J(\tilde{C})$ 的主极化 $\Theta$ 的限制下在代数等价性意义下成立。与经典 Torelli 定理不同，Prym 数据并不总能唯一确定偶数对 $(\tilde{C},\sigma )$。本文引入 Prym 数据的扩展：我们考量所有在 $P$ 的每个二阶点处乘数为偶数的对称 theta 划分 $\Theta$，它们形成三个 $P_2$ 轨道。其中一个轨道的限制形成轨道 \{ 2\Xi \，其中 $\Xi$ 为 $P$ 的对称 theta 划分。其他两个限制形成两个 $P_2$-轨道 $O_1,O_2\subset \mid 2\Xi \mid$。扩展 Prym 数据由 $(P,\Xi )$ 及 $O_1,O_2$ 组成。我们证明只要 $g(\tilde{C})\geq 3$，该数据即可唯一确定偶数对 $(\tilde{C} ,\sigma )$。证明类似于 Andreotti 对 Torelli 定理的证明，利用 $O_1,O_2$ 划分的 Gauss 图。该结果是 genus>1 情形下经典椭圆曲线定理的类比。