分数拉普拉斯算子的重构算法及其在逆问题中的应用

我们提出两种重构方案，使能够从局部数据 $(u|_W, [(-\Delta)^s u]|_W)$ 中恢复整个欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$ 中的函数，其中 $W$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中任意小的非空开放子集，$(-\Delta)^s$ 表示阶数为 $s\in (0,1)$ 的分数拉普拉斯算子。这两种方法在关键性地依赖于分数拉普拉斯算子的弱唯一延续性质（UCP）。我们将这些方法应用于两个不同的逆问题。遵循 Ghosh 等人的开创性工作，第一个问题涉及从分数 Schrödinger 方程在非局部 Robin 型边界条件下恢复势候（Calder\'on 类型问题）。第二个问题涉及从球内局部时变测量中恢复空间分数热方程的解。为解决这些问题，我们引入了新的分析工具，如广义弱肯尔变换和分数 Robin-to-Robin 映射。最后，我们对一种重构方法提供数值模拟，说明其稳定性问题以及固有的严重 Ill-posed 本质。