图作为流形上 Morse 函数 Reeb 图的实现

我们研究给定图作为光滑函数 $f\colon M\rightarrow \mathbb{R}$ 的 Reeb 图 $\mathcal{R}(f)$ 的实现问题,其中 $f$ 具有有限个临界点,$M$ 为闭流形。我们证明对任意 $n\geq2$ 以及任意具有所谓良定向的图 $\Gamma$,存在一个 $n$-流形 $M$ 和一个 Morse 函数 $f\colon M\rightarrow \mathbb{R}$ 使得其 Reeb 图 $\mathcal{R}(f)$ 同构于 $\Gamma$,推广了 Sharko 与 Masumoto-Saeki 的先前结果。我们证明简单 Morse 函数的 Reeb 图使圈数最大化。此外,我们给出了可作为曲面 Reeb 图出现的图的完整刻画。