关于 Reeb 图作为流形子复形的表示

Reeb 图 $\mathcal{R}(f)$ 是具有孤立临界点的平滑函数 $f\colon M\to \mathbb{R}$ 的基本不变量之一。它定义为闭流形 $M$ 关于依赖于 $f$ 的关系的商空间 $M/_{\!\sim}$。在此，我们构造了一个嵌入到 $M$ 中的 1 维复形 $\Gamma(f)$，其与 $\mathcal{R}(f)$ 同伦等价。由此推论，对于有限基本群流形上的任意函数 $f$，其 Reeb 图是一棵树。若 $\pi_1(M)$ 是阿贝尔群，或更一般地，是离散可均群，则 $\mathcal{R}(f)$ 至多包含一个环。最后，我们证明了曲面 $M_g$ 上任意函数的 Reeb 图中的环数上限由 $M_g$ 的亏格 $g$ 估计。